Question

20．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）$（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示．
（1）分别求出A，ω，ϕ并确定函数f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的单调递增区间；
（3）求不等式-$\sqrt{2}$≤f（x）≤1的解集．

Answer 1

分析 （1）由题意和图象可得A值，由周期公式可得ω，代入点（$\frac{π}{12}$，$\sqrt{2}$）结合角的范围可得；
（2）解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得；
（3）原不等式可化为-$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，结合函数的图象可得．

解答 解：（1）由题意和图象可得A=$\sqrt{2}$，$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{12}$，解得ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+ϕ），代入点（$\frac{π}{12}$，$\sqrt{2}$）可得$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{6}$+ϕ），
∴$\frac{π}{6}$+ϕ=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得ϕ=2kπ+$\frac{π}{3}$，结合|ϕ|＜$\frac{π}{2}$可得ϕ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）；
（3）不等式-$\sqrt{2}$≤f（x）≤1可化为-$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
变形可得-1≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故2kπ+$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{9π}{4}$，
解得kπ+$\frac{5π}{24}$≤x≤kπ+$\frac{23π}{24}$，k∈Z
∴不等式-$\sqrt{2}$≤f（x）≤1的解集为[kπ+$\frac{5π}{24}$，kπ+$\frac{23π}{24}$]k∈Z．

点评 本题考查三角函数的故选和性质，涉及单调性和三角函数不等式的解集，属中档题．