Question

12．已知在正四面体A-BCD中，E，F分别是线段AB，CD的中点，则直线CE，AF的夹角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 连结BF，取BF中点O，连结EO、CO，则∠OEC是直线CE，AF的夹角（或夹角的补角），由此能求出直线CE，AF的夹角的余弦值．

解答 解：连结BF，取BF中点O，连结EO、CO，设正四面体棱长为2，
∵在正四面体A-BCD中，E，F分别是线段AB，CD的中点，
∴EO∥AF，∴∠OEC是直线CE，AF的夹角（或夹角的补角），
AF=CE=BF=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，EO=FO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
CO=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴cos∠OEC=$\frac{\frac{3}{4}+3-\frac{7}{4}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$．
∴直线CE，AF的夹角的余弦值是$\frac{2}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．