Question

15．非零向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$，且4|$\overrightarrow{m}$|=3|$\overrightarrow{n}$|，若$\overrightarrow{n}$⊥（t$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$），则实数t为（　　）

• A． 4
• B． -4
• C． $\frac{4}{9}$
• D． -$\frac{4}{9}$

Answer 1

分析 根据向量数量积的公式结合向量垂直的关系建立方程进行求解即可．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$，且4|$\overrightarrow{m}$|=3|$\overrightarrow{n}$|，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=|$\overrightarrow{m}$||$\overrightarrow{n}$|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{m}$||$\overrightarrow{n}$|，
∵$\overrightarrow{n}$⊥（t$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$），
∴$\overrightarrow{n}$•（t$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）=0，
即t$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+|$\overrightarrow{n}$|²=0，
即$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{m}$||$\overrightarrow{n}$|t+|$\overrightarrow{n}$|²=0，
即|$\overrightarrow{m}$|t=-3|$\overrightarrow{n}$|，
即$\frac{3}{4}$t|$\overrightarrow{n}$|=-3|$\overrightarrow{n}$|，
则t=-4，
故选：B．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直和斜率模长之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键．