Question

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为正方形A₁B₁C₁D₁的中心，则异面直线A₁D与OB所成角的余弦值为（　　

• A． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 如图所示建立空间直角坐标系．利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：如图所示建立空间直角坐标系
不妨设AB=2，则D（0，0，0），A₁（2，0，2），B（2，2，0），
O（1，1，2），
∴$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{BO}$=（-1，-1，2），
∴$cos＜\overrightarrow{D{A}_{1}}，\overrightarrow{BO}＞$=$\frac{\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{BO}}{|\overrightarrow{D{A}_{1}}||\overrightarrow{BO}|}$=$\frac{-2+4}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}\sqrt{（-1）^{2}×2+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴异面直线A₁D与OB所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查了通过求向量的夹角求异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．