题目内容
12．已知集合A=$\left\{{x|1＜{2^x}≤16}\right\}，B=\left\{{y|y=\sqrt{x}，x∈A}\right\}$．（1）求A∩B；
（2）若f（x）=log2x-$\frac{1}{x}$，x∈A∩B求函数f（x）的最大值．
分析 （1）运用指数函数单调性化简集合A，由幂函数单调性求得B，再由交集定义可得；
（2）求得f（x）的导数，判断单调性，即可得到f（2）为最大值．
解答 解：（1）∵1＜2x≤16，∴20＜2x≤24，即0＜x≤4，
∴A={x|0＜x≤4}，
∵x∈（0，4]，∴$y=\sqrt{x}∈（{0，2}]，B=\left\{{x|0＜x≤2}\right\}$．
∴A∩B=（0，2]；
（2）f（x）=log2x-$\frac{1}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{xln2}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
f′（x）在（0，2]大于0，可得f（x）在（0，2]递增，
f（2）取得最大值log22-$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查集合的交集和函数的最值的求法，注意运用指数函数和对数函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
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| A． | （1，+∞） | B． | $（\frac{1}{2}，1）$ | C． | （1，3] | D． | （1，5] |
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| A． | $-\frac{1}{3}$ | B． | -1 | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | 1 |
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| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{2π}{3}$ | D． | $\frac{3π}{4}$ |
1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x-1）（x-3）＜0}，则A∩B为（ ）
| A． | （1，3） | B． | （1，4） | C． | （2，3） | D． | （2，4） |
2．
如果函数f（x）是定义在（-3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，函数f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（ ）
如果函数f（x）是定义在（-3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，函数f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（ ）| A． | （-3，-$\frac{π}{2}$）∪（0，1）∪（$\frac{π}{2}$，3） | B． | （-$\frac{π}{2}$，-1）∪（0，1）∪（$\frac{π}{2}$，3） | C． | （-3，-1）∪（0，1）∪（1，3） | D． | （-3，-$\frac{π}{2}$）∪（0，1）∪（1，3） |