Question

13．已知sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{12}{13}$，0＜x＜$\frac{π}{4}$，求$\frac{cos2x}{cos（\frac{π}{4}-x）}$的值为$\frac{10}{13}$．

Answer 1

分析 由已知结合诱导公式求得cos（$\frac{π}{4}-x$），再由同角三角函数的基本关系式得2sin（$\frac{π}{4}-x$），把cos2x=sin（$\frac{π}{2}-2x$）展开倍角公式，则答案可求．

解答 解：∵sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{12}{13}$，
∴cos（$\frac{π}{4}-x$）=sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{12}{13}$，
∵0＜x＜$\frac{π}{4}$，
∴0$＜\frac{π}{4}-x＜\frac{π}{4}$，则sin（$\frac{π}{4}-x$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{4}-x）}=\sqrt{1-（\frac{12}{13}）^{2}}=\frac{5}{13}$．
∴cos2x=sin（$\frac{π}{2}-2x$）=sin2（$\frac{π}{4}-x$）=2sin（$\frac{π}{4}-x$）cos（$\frac{π}{4}-x$）
=2×$\frac{5}{13}×\frac{12}{13}$=$\frac{120}{169}$．
则$\frac{cos2x}{cos（\frac{π}{4}-x）}$=$\frac{\frac{120}{169}}{\frac{12}{13}}=\frac{10}{13}$．
故答案为：$\frac{10}{13}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式及同角三角函数的基本关系式，是基础题．