Question

3．在△ABC中，内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c．已知acosB-$\frac{1}{2}$b=$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{bsinB}{sinC}$．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化简已知可得a²=c²+b²-bc，根据余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可解得A的值．
（2）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系求出b+c的范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，∵acosB-$\frac{1}{2}$b=$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{bsinB}{sinC}$，由正弦定理可得：acosB-$\frac{1}{2}$b=$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{{b}^{2}}{c}$，
∴由余弦定理可得：a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-$\frac{1}{2}$b=$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{{b}^{2}}{c}$，整理可得：a²=c²+b²-bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．…6分
（2）∵由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，则3=b²+c²-bc，
∴（b+c）²-3bc=3，
即3bc=（b+c）²-3≤3[$\frac{1}{2}$（b+c）]²，
化简得，（b+c）²≤12（当且仅当b=c时取等号），
则b+c≤2$\sqrt{3}$，
又∵b+c＞a=$\sqrt{3}$，
综上得，b+c的取值范围是（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．