Question

2．已知锐角α满足cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则$\frac{sin2α-cos2α+1}{1-tanα}$=$-\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，可得sin2α=$\frac{4}{5}$，结合α的范围利用平方关系求得cos2α，求出cosα+sinα，与已知联立求得sinα，cosα的值，得到tanα，代入$\frac{sin2α-cos2α+1}{1-tanα}$得答案．

解答 解：由cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，①
两边平方得：$1-sin2α=\frac{1}{5}$，得sin2α=$\frac{4}{5}$，
∵α为锐角，且cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴α∈（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$），
则2α∈（$\frac{π}{2}，π$），
∴cos2α=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}=-\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}=-\frac{3}{5}$．
cosα+sinα=$\sqrt{（cosα+sinα）^{2}}=\sqrt{1+sin2α}=\sqrt{1+\frac{4}{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．②
联立①②解得：sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即tanα=2．
∴$\frac{sin2α-cos2α+1}{1-tanα}$=$\frac{\frac{4}{5}-（-\frac{3}{5}）+1}{1-2}=-\frac{12}{5}$．
故答案为：-$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．