Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点．
（1）求证：CD∥平面A₁EB；
（2）求证：CD⊥平面A₁ABB₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）设AB₁和A₁B的交点为O，连接EO，连接OD，根据三角形中位线定理可以证明四边形ECOD为平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）利用线面垂直的判定定理，即可证明．

解答： 证明：（1）设AB₁和A₁B的交点为O，连接EO，连接OD．
因为O为AB₁的中点，D为AB的中点，
所以OD∥BB₁且OD=

1

2

BB1．
又E是CC₁中点，
所以EC∥BB₁且EC=

1

2

BB1，
所以EC∥OD且EC=OD．
所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，则CD∥平面A₁BE；
（2）因为在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，
所以CD⊥AB，CD⊥A₁A，
因为A₁A∩AB=A，
所以CD⊥平面A₁ABB₁．

点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判断与证明，考查空间想象能力，逻辑推理能力．