Question

设函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+cos²x+

3

sinxcosx．
（1）已知x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的值域；
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=

1

3

，f（

C

2

）=

5

2

，求sinA．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）化简f（x）=2sin（2x+

π

6

）+

1

2

，由于x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，所以函数f（x）的最大值是

5

2

，函数f（x）的最小值是-

1

2

，即可求出值域．
（2）f（

c

2

）=2sin（C+

π

6

）+

1

2

=

5

2

，所以sin（C+

π

6

）=1，又C为△ABC的内角 所以C=

π

3

，又因为在△ABC中，cosB=

1

3

，所以sinB=

2 3

3

，所以sinA的值为

2 2 + 3

6

．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x
=

3

sin2x+cos2x+

1

2

=2sin（2x+

π

6

）+

1

2

x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
所以函数f（x）的最大值是

5

2

，函数f（x）的最小值是-

1

2

，
故函数f（x）的值域为[-

1

2

，

5

2

]．
（2）f（

c

2

）=2sin（C+

π

6

）+

1

2

=

5

2

，所以sin（C+

π

6

）=1，
又C为△ABC的内角 所以C=

π

3

，
又因为在△ABC 中，cosB=

1

3

，所以sinB=

2 3

3

，所以
sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

2 2

3

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

2 2 + 3

6

．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，两角和与差的余弦函数，学生的计算能力，属于中档题．