Question

11．已知点A（0，3），B（3，0），如果抛物线y=x²-ax+a+1与线段AB（不包括线段端点A，B）有两个不同的交点，求a满足的条件．

Answer 1

分析 由题意可求线段AB所在的直线的解析式为y=-x+3（0≤x≤3），由抛物线与线段所在的线段y=-x+3（0≤x≤3）有两个不同的交点，可得方程x²+（1-a）x+a-2=0，在[0，3]上应该有两个不相等的实数根即f（x）=x²+（1-a）x+a-2在[0，3]与x轴上有2个交点，结合二次函数的性质得不等式组，解出即可．

解答 解：设线段AB所在的直线的解析式为y=kx+b，
分别把（3，0），（0，3）代入可得，0=3k+b，3=b
解得k=-1，b=3，
∴线段AB所在的直线的解析式为y=-x+3（0≤x≤3），
联立y=-x+3，y=x²-ax+a+1，得x²+（1-a）x+a-2=0，
因为抛物线与线段所在的线段y=-x+3（0≤x≤3）有两个不同的交点，
所以方程x²+（1-a）x+a-2=0，在[0，3]上应该有两个不相等的实数根
令f（x）=x²+（1-a）x+a-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△{=（1-a）}^{2}-4（a-2）＞0}\\{0＜\frac{a-1}{2}＜3}\\{f（0）=a-2≥0}\\{f（3）=9+3（1-a）+a-2≥0}\end{array}\right.$，
∴2≤a≤5且a≠3．

点评 本题主要考查了直线与曲线的相交关系的应用，解题中要注意解题中的x的范围限制．