题目内容

20．①在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；
②若满足条件C=60°，AB=$\sqrt{3}$，BC=a的△ABC有两个，则$\sqrt{2}＜a＜\sqrt{3}$；
③在等比数列{an}中，若其前n项和Sn=3n+a，则实数a=-1；
④若等比数列{an}中a2和a10是方程x2+15x+16=0的两根，则a22+2a4a8+a102=225，且a6=±4．
其中正确的命题序号有①③（把你认为正确的命题序号填在横线上）．

分析 ①在△ABC中，由sinA＞sinB，利用正弦定理可得a＞b，可得A＞B，即可判断出正误；
②由a＞|AB|=$\sqrt{3}$，即可判断出正误；
③由Sn=3n+a，可得a1=3+a，当n≥2时，an=Sn-Sn-1，利用${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，解得a，即可判断出正误；
④若等比数列{an}中a2和a10是方程x2+15x+16=0的两根，a2+a10=-15，a2•a10=16，可得a22+2a4a8+a102=$（{a}_{2}+{a}_{10}）^{2}$，${a}_{6}={a}_{2}{q}^{4}$，a2＜0，因此a6=-$\sqrt{{a}_{2}{a}_{10}}$，即可判断出正误．

解答 解：①在△ABC中，若sinA＞sinB，利用正弦定理可得a＞b，因此A＞B，正确；
②若满足条件C=60°，AB=$\sqrt{3}$，BC=a的△ABC有两个，则$a＞\sqrt{3}$，因此不正确；
③在等比数列{an}中，若其前n项和Sn=3n+a，可得a1=3+a，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2•3n-1，a2=6，a3=18，则62=18（3+a），解得a=-1，因此正确；
④若等比数列{an}中a2和a10是方程x2+15x+16=0的两根，∴a2+a10=-15，a2•a10=16，则a22+2a4a8+a102=$（{a}_{2}+{a}_{10}）^{2}$=225，${a}_{6}={a}_{2}{q}^{4}$，a2＜0，因此a6=-$\sqrt{{a}_{2}{a}_{10}}$=-4，因此不正确．
其中正确的命题序号有①③．

点评 本题考查了正弦定理、递推关系、等比数列的定义通项公式及其性质、一元二次的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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