Question

5．若函数y=f（x）对定义域的每一个值x₁，在其定义域内都存在唯一的x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：
①y=x是“依赖函数”；
②y=$\frac{1}{x}$是“依赖函数”；
③y=2^x是“依赖函数”；
④y=lnx是“依赖函数”；
⑤y=f（x），y=g（x）都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f（x）•g（x）是“依赖函数”．
其中所有真命题的序号是②③．

Answer 1

分析 理解“依赖函数”的定义，注意关键词：①定义域的每一个值x₁，②都存在唯一的x₂，③f（x₁）f（x₂）=1．逐一验证5个函数是否满足定义，可得答案

解答 解：对函数y=x，当x₁=0时不存在x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立，故①y=x是“依赖函数”错误；
对函数y=$\frac{1}{x}$，对定义域的每一个值x₁，在其定义域内都存在唯一的x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立，故②y=$\frac{1}{x}$是“依赖函数”正确；
对函数y=2^x，对定义域的每一个值x₁，在其定义域内都存在唯一的x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立，故③y=2^x是“依赖函数”正确；
对函数y=lnx，当x₁=1时不存在x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立，故④y=lnx是“依赖函数”错误；
y=f（x），y=g（x）都是“依赖函数”，若如果f（x）g（x）=1，则任意x₁，都对应无数个x₂，故⑤y=f（x）•g（x）是“依赖函数”错误．
故真命题的序号是：②③，
故答案为：②③

点评 本题是给出定义，直接应用的新题，要抓住关键词，是解答此类问题的关键