Question

14．对于定义在R上的函数f（x），若f（0）=1，且对任意的x∈R，都有f（x+1）-f（x）=2，则$\frac{2}{f（0）f（1）}$+$\frac{2}{f（1）f（2）}$+…+$\frac{2}{f（2014）f（2015）}$=$\frac{4030}{4031}$．

Answer 1

分析 根据条件对任意的x∈R，都有f（x+1）-f（x）=2，得到f（x）是等差数列，求出f（x）的表达式，利用裂项法进行求解即可．

解答 解：∵任意的x∈R，都有f（x+1）-f（x）=2，
∴f（x）可以看成是以f（0）=1为首项，2为公差的等差数列，
则f（x）=1+2x，
则$\frac{2}{f（x）f（x+1）}$=$\frac{2}{（1+2x）（2x+3）}$=$\frac{1}{2x+1}$-$\frac{1}{2x+3}$，
即$\frac{2}{f（0）f（1）}$+$\frac{2}{f（1）f（2）}$+…+$\frac{2}{f（2014）f（2015）}$=1$-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+$$\frac{1}{2×2014+1}$-$\frac{1}{2×2014+3}$=1-$\frac{1}{2×2014+3}$=1-$\frac{1}{4031}$=$\frac{4030}{4031}$，
故答案为：$\frac{4030}{4031}$．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件结合等差数列的通项公式，利用裂项法进行求解是解决本题的关键．