题目内容
17.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0.(1)写出a1,a2,a3;
(2)由(1)数列{an}猜想出数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明.
分析 (1)由于a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0.可得a1=2,a2=λ2+22,a3=2λ3+23,a4=3λ4+24.
(2)由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.利用数学归纳法证明即可得出.
解答 解:(1)∵a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0.
∴a1=2,a2=$λ{a}_{1}+{λ}^{2}+(2-λ)×2$=λ2+22,a3=$λ{a}_{2}+{λ}^{3}$+(2-λ)×22=2λ3+23,同理可得a4=3λ4+24.
(2)由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.
以下用数学归纳法证明:①当n=1时,a1=2,等式成立.
②假设当n=k时等式成立,即${a}_{k}=(k-1)•{λ}^{k}$+2k.则当n=k+1时,ak+1=$λ{a}_{k}+{λ}^{k+1}$+(2-λ)•2k=
λ[(k-1)λk+2k]+λk+1+(2-λ)•2k=[(k+1)-1]λk+1+2k+1.
这就是说,当n=k+1时等式也成立.
由①②可知数列{an}的通项公式是:an=(n-1)λn+2n.(n∈N*).
点评 本题考查了递推关系的应用、数学归纳法的应用,考查了猜想归纳推理能力与计算能力,属于中档题.
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