Question

4．已知函数f（x）=e^x，g（x）=$\frac{1}{2}$x²+x+1，则与f（x），g（x）的图象均相切的直线方程是y=x+1．

Answer 1

分析 设切线l与函数f（x）的图象相切，切点为（t，e^t），则l的方程可表示为y=e^tx+e^t（1-t），直线l与函数g（x）的图象相切的充要条件是关于x的方程e^tx+e^t（1-t）=$\frac{1}{2}$x²+x+1有两个相等的实数根，从而有△=0，构造函数化为函数零点存在问题可求切线的方程．

解答 解：设所求直线l与函数f（x）的图象相切，切点为（t，e^t），
函数f（x）=e^x，导数为f′（x）=e^x，
则直线l的方程为y-e^t=e^t（x-t），即y=e^tx+e^t（1-t），
直线l与函数g（x）的图象相切的充要条件是关于x的方程e^tx+e^t（1-t）=$\frac{1}{2}$x²+x+1，
即$\frac{1}{2}$x²+（1-e^t）x+1-e^t（1-t）=0有两个相等的实数根，
∴△=e^2t-2e^t+1-2+2e^t（1-t）=0，
化为e^2t-2te^t-1=0，
设φ（t）=e^2t-2te^t-1，
φ′（t）=2e^2t-2（t+1）e^t=2e^t（e^t-t-1），
由h（t）=e^t-t-1的导数为h′（t）=e^t-1，
当t＞0时，h（t）递增；当t＜0时，h（t）递减．
可得h（t）≥h（0）=0，
即有φ′（t）≥0，即φ（t）在R上递增，
由φ（0）=0，e^2t-2te^t-1=0的解为t=0，
存在唯一一条直线l与函函数f（x）与g（x）的图象均相切，
其方程为y=x+1．
故答案为：y=x+1．

点评 该题考查导数的几何意义，直线方程的知识，考查学生的推理能力及运算求解能力，属于中档题．