Question

已知函数 f（x）=

e-x-2，x≤0 2ax-1，x＞0

（a是常数且a＞0）．对于下列命题：
①函数f（x）在R上是单调函数；
②函数f（x）的最小值是-1；
③若f（x）＞0在[

1

2

，+∞)上恒成立，则a的取值范围是a＞1；
④对任意的x₁＜0，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；
②由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是-1；
③只需说明f（x）＞0在[

1

2

，+∞）上恒成立，则当x=

1

2

时，函数取得最小值，从而求得a的取值范围是a＞1；
④已知函数在（-∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故D正确．

解答： 解：函数 f（x）=

e-x-2，x≤0 2ax-1，x＞0

（a是常数且a＞0）．如下图所示：

①由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；
②由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是-1；故正确；
③只需说明f（x）＞0在[

1

2

，+∞）上恒成立，则当x=

1

2

时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；
④已知函数函数在（-∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，
即f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

，故正确．
故答案为：②③④．

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了分段函数的单调性，最值，单调性及恒成立问题，难度不大，属于中档题．