题目内容

某城市2002年末粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上一年末粮食储备量的5%，并且每年新增粮食储备量均为x万吨、
（I）记2002年末的粮食储备量为a₁万吨，以后各年末的粮食储备量依次为a₂万吨，a₃万吨，…、写出a₁，a₂，a₃和a_n（n∈N）的表达式；
（II）受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过150万吨，那么每年新增粮食储备量不应超过多少万吨？

（I）解：a₁=100，a₂=0.95×100+x，a₃=0.95a₂+x=0.95²×100+0.95x+x（3分）
对于n＞2，有a_n=0.95a_n-1+x=0.95²×a_n-2+（1+0.95）x
∴ $\text{[math]}$
=20x+（100-20x）•0.95^n-1（6分）
（II）解：当100-20x≥0，即x≤5时，a_n+1≤a_n≤≤a₂≤a₁=100；（8分）
当100-20x＜0，即x＞5时， $\text{[math]}$
并且数列a_n的逐项增加，可以任意靠近20x．
因此，如果要求粮食储备不超过150万吨，则a_n＜150，即20x≤150
∴x≤0，75．所以，每年新增粮食储备量不应超过7.5万吨（12分）
分析：（I）由题设知a₁=100，a₂=0.95×100+x，a₃=0.95a₂+x=0.95²×100+0.95x+x. $\text{[math]}$ =20x+（100-20x）•0.95^n-1．
（II）当100-20x≥05时，a_n+1≤a_n≤…≤a₂≤a₁=100；当100-20x＜0时， $\text{[math]}$ ．由此可以导出每年新增粮食储备量不应超过7.5万吨．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．

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