Question

8．设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0； q：实数x满足$\frac{x-3}{x-2}$＜0．
（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，q，若p∨q为真，则p，q至少有1个为真，即可得出；
（2）根据p是q的必要不充分条件，即可得出．

解答 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．…（2分）
q为真时$\frac{x-3}{x-2}＜0$等价于（x-2）（x-3）＜0，得2＜x＜3，…（4分）
即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．
若p∨q为真，则实数x的取值范围是1＜x＜3．…（7分）
（2）p是q的必要不充分条件，等价于q⇒p且p推不出q，
设A={x|a＜x＜3a}，B={x|2＜x＜3}，则B?A；                 …（10分）
则$\left\{\begin{array}{l}0＜a≤2\\ 3a≥3\\ a=2与3a=3不同时取等号\end{array}\right.$，
所以实数a的取值范围是1≤a≤2．…（14分）

点评 本题考查了简易逻辑的有关知识、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．