Question

19．已知正数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{9}{b}$=$\sqrt{ab}$-5，则ab的最小值为36．

Answer 1

分析 正数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{9}{b}$=$\sqrt{ab}$-5，$\sqrt{ab}$-5≥$2\sqrt{\frac{1}{a}×\frac{9}{b}}$，化为：$（\sqrt{ab}）^{2}$-5$\sqrt{ab}$-6≥0，解出即可得出．

解答 解：∵正数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{9}{b}$=$\sqrt{ab}$-5，
∴$\sqrt{ab}$-5≥$2\sqrt{\frac{1}{a}×\frac{9}{b}}$，化为：$（\sqrt{ab}）^{2}$-5$\sqrt{ab}$-6≥0，
解得$\sqrt{ab}$≥6，当且仅当$\frac{1}{a}$=$\frac{9}{b}$，$\frac{1}{a}$+$\frac{9}{b}$=$\sqrt{ab}$-5，即a=2，b=18时取等号．
解得ab≥36．
故答案为：36．

点评 本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．