Question

16．已知函数f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$．
（1）证明函数f（x）在（-1，+∞）上为单调递增函数；
（2）若x∈[0，2]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）证法一：设x₁，x₂是区间（-1，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，作差判断f（x₁），f（x₂）的大小，可得绪论
证法二：求导，根据x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在（-1，+∞）上为单调递增函数；
（2）根据（1）中函数的单调性，求出函数的最值，进而可得函数的值域．

解答 （本题满分14分）
（1）证法一：$f（x）=\frac{2x+1}{x+1}=\frac{2（x+1）-1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$．
设x₁，x₂是区间（-1，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，…（2分）
于是$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（2-\frac{1}{{{x_2}+1}}）-（2-\frac{1}{{{x_1}+1}}）$=$\frac{1}{{{x_1}+1}}-\frac{1}{{{x_2}+1}}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$．…（4分）
因为x₂＞x₁＞-1，所以x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，所以f（x₁）＜f（x₂），…（6分）
所以函数f（x）在（-1，+∞）上为单调增函数．…（7分）
证法二：∵f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$．
∴f′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$．
当x∈（-1，+∞）时，
f′（x）＞0恒成立，
故函数f（x）在（-1，+∞）上为单调递增函数；…（7分）
（2）由（1）可知，函数在[0，2]上为单调增函数，…（9分）
于是，当x∈[0，2]时，f（x）_min=f（0）=1，…（11分）$f{（x）_{max}}=f（2）=\frac{5}{3}$．…（13分）
所以，当x∈[0，2]时，函数f（x）的值域为$[1，\frac{5}{3}]$．…（14分）

点评 本题考查的知识点是函数单调性的证明与应用，利用导数研究函数的单调性，难度中档．