Question

已知各项均为非负数的数列{a_n}，a₁=0，前n项和为S_n，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=

x2+ 9 4

-

1

2

的图象上．
（1）证明：对一切n∈N^*，a_n＜a_n+1＜2；
（2）证明：S_n＜2n+6．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）运用数学归纳法证明，当n=1时，a₁＜a₂＜2成立，假设n=k时，a_k＜a_k+1＜2成立，当n=k+1时，注意运用假设，先证ak+2＜2，再证ak+2-ak-1＞0即可；
（2）运用数学归纳法证明，当n=1时，S₁＜2×1+6成立；假设n=k时，S_k＜2k+6成立；当n=k+1时，S_k+1=S_k+
a_k+1，运用假设和条件和a_k＜2，即可得证．

解答： 证明：（1）∵（a_n，a_n+1）在函数f（x）=

x2+ 9 4

-

1

2

的图象上，
∴a_n+1=

an2+ 9 4

-

1

2

，
∵a₁=0，∴a₂=

3

2

-

1

2

=1，
运用数学归纳法证明如下：
当n=1时，a₁＜a₂＜2成立，
假设n=k时，a_k＜a_k+1＜2成立，
当n=k+1时，a_k+2=

ak+12+ 9 4

-

1

2

＜

4+ 9 4

-

1

2

=2，
又a_k+2-a_k+1=

ak+12+ 9 4

-

1

2

-a_k+1=

ak+12+ 9 4

-

ak+12+ak+1+ 1 4

＞0，
即a_k+1＜a_k+2＜2成立，
故对一切n∈N^*，a_n＜a_n+1＜2；
（2）运用数学归纳法证明如下：
当n=1时，S₁=a₁=0，2×1+6=8，即S₁＜2×1+6成立；
假设n=k时，S_k＜2k+6成立；
当n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1＜2k+6+a_k+1=2k+6+

ak2+ 9 4

-

1

2

＜2k+6+

22+ 9 4

-

1

2

=2（k+1）+6，
即n=k+1时，有S_k+1＜2（k+1）+6．
故对一切n为正整数，都有S_n＜2n+6．

点评：本题主要考查运用数学归纳法证明数列不等式，注意解题步骤，特别是要运用假设，这是解题的关键．