Question

已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)设g(x)＝x²－4x＋2，若对任意x₁∈(0，＋∞)，均存在x₂∈[0,1]，使得f(x₁)<g(x₂)，求a的取值范围．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝a＋＝ (x>0)．

①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，

f′(x)>0，

所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

②当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－.

在区间上，f′(x)>0，在区间上，

f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递增区间为，

单调递减区间为.

综上所述，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，

当a<0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)由题意得f(x)_max<g(x)_max，

而g(x)_max＝2，

由(1)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．

当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，

故f(x)的极大值即为最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，

所以2>－1－ln(－a)，解得a<－.

故a的取值范围为.