Question

下列命题中，正确的命题有（　　）
①命题“?x∈R，使得x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，都有x²+1≤3x”；
②设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”；
③“a＜2”是“函数f（x）=x³-2ax+a在（0，1）内有极小值”的必要条件；
④命题“?x₀∈R，使得x₀²+mx₀+2m-3＜0”为假命题时，实数m的取值范围是[2，6]．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,简易逻辑

分析：对于①，直接写出命题的否定加以判断；
对于②，直接由复合命题的真值表加以判断；
对于③，利用导数求出函数f（x）=x³-2ax+a在（0，1）内有极小值的充要条件加以判断；
对于④，先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．

解答： 解：对于①，命题“?x∈R，使得x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，都有x²+1≤3x”，命题①正确；
对于②，设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则p、q中至少有一个假命题，若其中一真一假，
则“￢p∧￢q为假命题”，命题②错误；
对于③，∵y=x³-2ax+a，∴y′=3x²-2a，
令y′=0，得x=

2a 3

，（负值舍去），
∵函数y=x³-2ax+a在（0，1）内有极小值，
∴0＜

2a 3

＜1，
∴a∈（0，

3

2

）．
∴③“a＜2”是“函数f（x）=x³-2ax+a在（0，1）内有极小值”的必要条件，命题③正确；
对于④，命题“?x₀∈R，使得x₀²+mx₀+2m-3＜0”为假命题的否定为：
“?x₀∈R，都有x₀²+mx₀+2m-3≥0”，
由于命题“?x₀∈R，使得x₀²+mx₀+2m-3＜0”为假命题，
则其否定为：“?x₀∈R，都有x₀²+mx₀+2m-3≥0”，为真命题，
∴△=m²-4（2m-3）≤0，解得2≤m≤6．
则实数m的取值范围是[2，6]，命题④正确．
∴正确的命题有3个．
故选：C．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数求函数的极值，训练了利用命题的真假性求参数的取值范围，是中档题．