Question

设h_a，h_b，h_c分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的高，且满足3h_c²=h_ah_b，则角C的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：由已知得c²=3ab，a²+b²-2ab＜c²＜a²+b²+2ab，从而ab＜a²+b²＜5ab，进而得-

1

2

＜cosC＜1，由此能求出0°＜C＜120°．

解答： 解：∵h_c=

2S

c

，h_a=

2S

a

，h_b=

2S

b

，
3h_c²=h_ah_b，
∴c²=3ab，
∵|a-b|＜c＜a+b，
∴a²+b²-2ab＜c²＜a²+b²+2ab，
a²+b²-2ab＜3ab＜a²+b²+2ab，
∴ab＜a²+b²＜5ab，
∴-

1

2

＜

1

2ab

（a²+b²-3ab）＜1，
∵cosC=

1

2ab

（a²+b²-c²）=

1

2ab

（a²+b²-3ab），
∴-

1

2

＜cosC＜1
∴0°＜C＜120°．
故答案为：（0°，120°）．

点评：本题考查角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．