Question

某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为

2

3

，徒弟加工一个零件是精品的概率为

1

2

，师徒二人各加工2个零件．
（1）求徒弟加工该零件的精品数多于师傅的概率．
（2）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）设师傅加工出i个精品零件的事件为A_i，徒弟加工出i个精品零件的事件为B_i，（i=0，1，2），则P（A₀）=（

1

3

）²=

1

9

，P(A1)

=C

1 2

(

1

3

)•

2

3

=

4

9

，P（B₁）=

C

1 2

(

1

2

)2=

1

2

，P（B₂）=(

1

2

)2=

1

4

，由此能求出徒弟加工该零件的精品数多于师傅的概率．
（2）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与期望Eξ．

解答： 解：（1）设师傅加工出i个精品零件的事件为A_i，
徒弟加工出i个精品零件的事件为B_i，（i=0，1，2），
则P（A₀）=（

1

3

）²=

1

9

，P(A1)

=C

1 2

(

1

3

)•

2

3

=

4

9

，
P（B₁）=

C

1 2

(

1

2

)2=

1

2

，P（B₂）=(

1

2

)2=

1

4

，
∴徒弟加工该零件的精品数多于师傅的概率：
p=P（A₀B₁）+P（A₀B₂）+P（A₁B₂）
=

1

9

×

1

2

+

1

9

×

1

4

+

4

9

×

1

4

=

7

36

．
（2）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P（A₂）=(

2

3

)2=

4

9

，P（B₀）=(

1

2

)2=

1

4

，
P（ξ=0）=

1

9

×

1

4

=

1

36

，
P（ξ=1）=

4

9

×

1

4

+

1

9

×

1

2

=

1

6

，
P（ξ=2）=

4

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

+

1

9

×

1

4

=

13

36

，
P（ξ=3）=

4

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

=

1

3

，
P（ξ=4）=

4

9

×

1

4

=

1

9

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 36	1 6	13 36	1 3	1 9

∴Eξ=0×

1

36

+1×

1

6

+2×

13

36

+3×

1

3

+4×

1

9

=

7

3

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．