Question

4．圆C与直线2x+y-5=0切于点（2，1），且与直线2x+y+15=0也相切，求圆C的方程．

Answer 1

分析 设出圆C的圆心坐标为（a，b），根据圆C与直线2x+y-5=0切于点（2，1），得出斜率之积为-1，列出方程①；
又圆C与直线2x+y+15=0也相切，半径与点到直线的距离相等，列出方程②；由①②组成方程组，求出a、b的值，从而写出圆C的方程．

解答 解：设圆C的圆心坐标为（a，b），
由圆C与直线2x+y-5=0切于点（2，1），
得$\frac{b-1}{a-2}$•（-2）=-1，化简得a=2b①；
又圆C与直线2x+y+15=0也相切，
得$\sqrt{{（a-2）}^{2}{+（b-1）}^{2}}$=$\frac{|2a+b|}{\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}}$，
化简得a²+4b²-20a-10b-4ab+25=0②；
由①、②组成方程组，解得a=1，b=$\frac{1}{2}$；
所以圆C的半径为r=$\sqrt{{（1-2）}^{2}{+（\frac{1}{2}-1）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以圆C的方程为（x-1）²+${（y-\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目．