Question

8．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：

空气质量指数	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]
空气质量等级	1级优	2级良	3级轻度 污染	4级中度 污染	5级重度 污染	6级严重污染

该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．
（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；
（Ⅱ）用分层抽样的方法共抽取10天，则空气质量指数在（0，50]，（50，100]，（100，150]的天数中各应抽取几天？
（Ⅲ）已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为2000元，空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为4000元．若在（Ⅱ）的条件下，从空气质量指数在（0，150]的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为4000元的概率．

Answer 1

分析 （I）利用频率直方图的性质可得频率（0.1+0.2），进而得出全年空气质量优良的天数为．
（Ⅱ）利用分层抽样的方法即可得出．
（Ⅲ）设空气质量指数在（0，50]的一天为A，空气质量指数在（50，100]的两天为b、c，空气质量指数在（100，150]的三天为1、2、3．可得从六天中随机抽取两天的所有可能结果为共15种．其中这两天的净化空气总费用为4000元的可能结果为（A1），（A2），（A3），（bc）．利用古典概率计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为
（0.1+0.2）×365=0.3×365=109.5≈110（天）．         …（3分）
（Ⅱ）在（0，50]，（50，100]，（100，150]的频率分别为0.1，0.2，0.3，因此在各个区间的天数中各应
抽取1，2，3天．  …（6分）
（Ⅲ）设空气质量指数在（0，50]的一天为A，空气质量指数在（50，100]的两天为b、c，空气质量指数在（100，150]的三天为1、2、3．
则从六天中随机抽取两天的所有可能结果为（Ab），（Ac），（A1），（A2），（A3），（bc），（b1），（b2），（b3），（c1），（c2），（c3），（12），（13），（23）．共15种．
其中这两天的净化空气总费用为4000元的可能结果为（A1），（A2），（A3），（bc）．
P（这两天的净化空气总费用为4000元）=$\frac{4}{15}$．…（12分）

点评 本题考查了古典概型及其概率计算公式、列举法、分层抽样方法、频率分布直方图的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．