Question

11．已知函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{8}$，则$\sum_{i=1}^{2016}$（$\frac{k}{2017}$）的值为（　　）

• A． 2016
• B． 1008
• C． 504
• D． 2017

Answer 1

分析 计算可得f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$，再由倒序相加求和，计算即可得到所求和．

解答 解：函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{8}$，
可得f（1-x）=（1-x）³-$\frac{3}{2}$（1-x）²+$\frac{3}{4}$（1-x）+$\frac{1}{8}$，
即有f（x）+f（1-x）=x²+（1-x）²-x（1-x）-3x²+3x-$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}$
=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$．
则s=$\sum_{i=1}^{2016}$（$\frac{k}{2017}$）=$\frac{1}{2017}$+$\frac{2}{2017}$+…+$\frac{2016}{2017}$，
又s=$\frac{2016}{2017}$+$\frac{2015}{2017}$+…+$\frac{2}{2017}$+$\frac{1}{2017}$．
相加可得2s=（$\frac{1}{2017}$+$\frac{2016}{2017}$）+（$\frac{2}{2017}$+$\frac{2015}{2017}$）+…+（$\frac{2016}{2017}$+$\frac{1}{2017}$）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$×2016=1008，
可得$\sum_{i=1}^{2016}$（$\frac{k}{2017}$）的值为504．
故选：C．

点评 本题考查函数的值的和的求法，注意运用倒序相加求和，求得f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$，是解题的关键，属于中档题．