Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0．
（1）若函数f（x）是偶函数，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在[-1，3]上的最大、最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先由f（1）=0可得到b=-c-1，带入f（x）便得：f（x）=x²-（c+1）x+c．由f（x）是偶函数，便可由f（-x）=f（x）求出c，从而求出f（x）=x²-1；
（2）对于二次函数f（x）=x²-1，可以判断它在[-1，3]上的单调性，而根据单调性即可求出f（x）在[-1，3]上的最大、最小值．

解答： 解：由f（1）=0得，1+b+c=0；
∴b=-c-1；
∴f（x）=x²-（c+1）x+c；
∴（1）若f（x）是偶函数，则：
f（-x）=x²+（c+1）x+c=x²-（c+1）x+c；
∴c+1=0，c=-1；
∴f（x）=x²-1；
（2）二次函数f（x）=x²-1在[-1，0）上单调递减，在[0，3]上单调递增；
又f（-1）=0，f（3）=8，f（0）=-1；
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是8，最小值是-1．

点评：考查二次函数的单调性，以及根据函数单调性求函数最值的方法．