Question

23．已知f（x）=(

1

9

)x-2a(

1

3

)x+3，x∈[-1，1]
（1）若f（x）的最小值记为h（a），求h（a）的解析式．
（2）是否存在实数m，n同时满足以下条件：①log₃m＞log₃n＞1；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先利用换元法把复合函数转化成二次函数，进一步利用分段函数求出解析式．
（2）先假设实数m、n存在，再根据已知条件推出矛盾从而得出结论．

解答： 解：（1）设t=(

1

3

)x，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[

1

3

，3]，
f（x）=t²-2at+3 t∈[

1

3

，3]，
对称轴t=a．
①当a＜

1

3

时，h(a)=f(

1

3

)=-

2a

3

+

28

9

，
②当

1

3

≤a≤3时，h(a)=f(a)=-a²+3，
③当a＞3时，h（a）=f（a）=-6a+12．
所以：h(a)=

- 2a 3 + 28 9 (a＜ 1 3 ) - 2a 3 + 28 9 ( 1 3 ≤a≤3) -a2+3(a＞3)

，a＜
（2）假设存在m，n使满足①②的条件．
因为h（a）=12-6a在（3，+∞）上为减函数，而m＞n＞3，
∴h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]，
∵h（a）在[n，m]上的值域为[n²，m²]，
∴h（m）=n²  h（n）=m²，即：12-6m=n²，12-6n=m²，
两式相减得：6（m-n）=（m-n）（m+n），
又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3时有m+n＞6，矛盾．
故满足条件的实数m，n不存在．

点评：本题考查的知识要点：复合函数的解析式的确定，换元法的应用，分段函数的应用，存在性问题的确定，属于中等题型．