题目内容
如图，已知棱长为1的正方体中ABCD-A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；
②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线AD成30°角；
③若PQ=1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；
④若PQ=1，则四面体BDPQ的表面积一定是定值；
⑤若PQ=1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．
其中真命题的是
考点：棱柱的结构特征
专题：空间位置关系与距离
分析：令P与A1点重合，Q与C1点重合，可判断①；空间中任意直线与BP，DQ夹角相等时，夹角最小值为45°，可判断②；根据平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥（其中O为上底面中心），可判断③；若|PQ|=1，则四面体BDPQ的表面积不是定值；根据四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积不变，可判断⑤．
解答：
解：当P与A1点重合，Q与C1点重合时，BP⊥DQ，
故①正确；
由①正确，可得空间中任意直线与BP，DQ夹角相等时，
夹角最小值为45°，
故②错误；
设平面A1B1C1D1两条对角线交点为O，则易得PQ⊥平面OBD，
平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，
高之和为PQ的棱锥，故四面体BDPQ的体积一定是定值，
故③正确；
若|PQ|=1，则四面体BDPQ的表面积不是定值；
四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定值，
四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为
，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，
故四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，
故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
解：当P与A1点重合，Q与C1点重合时，BP⊥DQ，故①正确；
由①正确，可得空间中任意直线与BP，DQ夹角相等时，
夹角最小值为45°，
故②错误；
设平面A1B1C1D1两条对角线交点为O，则易得PQ⊥平面OBD，
平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，
高之和为PQ的棱锥，故四面体BDPQ的体积一定是定值，
故③正确；
若|PQ|=1，则四面体BDPQ的表面积不是定值；
四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定值，
四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为
| ||
| 2 |
故四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，
故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
点评：本题考查的知识点是棱柱的几何特征，是空间异面直线关系，棱锥体积，投影的综合应用，难度较大．
练习册系列答案
阶梯计算系列答案
相关题目
如图所示，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若∠BCD=90°，BC=10，CD=8，则MN=正方体的内切球，与各棱相切的球，外接球的体积之比为（ ）
| A、1：2：3 | ||||||
B、1：
| ||||||
C、1：2
| ||||||
D、1：
|