Question

如图所示,在三棱锥PABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D、C、E、F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.

(1)求证:AB∥GH;

(2)求二面角DGHE的余弦值.

Answer 1

 (1)证明:由D、C、E、F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,知G,H分别是△PAQ,△PBQ的重心.

∴==.

∴GH∥DC.

又D,C为AQ,BQ的中点,则DC∥AB,

∴AB∥GH.

(2)解:在△ABQ中,

AQ=2BD,AD=DQ,

所以∠ABQ=90°,即AB⊥BQ,

因为PB⊥平面ABQ,

所以AB⊥PB.

又BP∩BQ=B,

所以AB⊥平面PBQ.

由(1)知AB∥GH,所以GH⊥平面PBQ.

又FH⊂平面PBQ,所以GH⊥FH.

同理可得GH⊥HC,

所以∠FHC为二面角DGHE的平面角.

设BA=BQ=BP=2,连接FC,

在Rt△FBC中,由勾股定理得FC=,

在Rt△PBC中,由勾股定理得PC=.

又H为△PBQ的重心,

所以HC=PC=.同理FH=.

在△FHC中,由余弦定理得

cos∠FHC===-.

即二面角DGHE的余弦值为-.