Question

1．如图，由半圆x²+y²=r²（y≤0，r＞0）和部分抛物线y=a（x²-1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，曲线C与x轴有A、B两个焦点，且经过点（2.3）．
（1）求a、r的值；
（2）设N（0，2），M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值；
（3）过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由将点代入抛物线方程，即可求得a的值，求得A，B点坐标，代入圆方程，即可r的值；
（2）根据两点之间的距离公式，采用分类讨论，根据二次函数的性质，即可求得|MN|的最小值；
（3）将直线方程，代入抛物线及圆的方程求得Q及P点坐标，由k_BP=-k_BQ，即可求得k的值，因此存在实根k=1+$\sqrt{2}$，使得∠QBA=∠PBA．

解答 解：（1）将（2，3）代入y=a（x²-1），解得：a=1，由y=x²-1与x轴交于（±1，0），
则A（1，0），B（-1，0），
代入圆x²+y²=r²，解得：r=±1，由r＞0，则r=1，
∴a的值为1，r的值为1；
（2）设M（x₀，y₀），则丨MN丨²=x₀²+（y₀-2）²，
当y₀≤0，x₀²=1-y₀²，丨MN丨²=5-4y₀，
∴当y₀=0时，丨MN丨_min=$\sqrt{5}$，
当y≥0时，x₀²=1+y₀，丨MN丨²=x₀²+（y₀-2）²=1+y₀+（y₀-2）²=y₀²-3y₀+5=（y₀-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{11}{4}$，
当y₀=$\frac{3}{2}$时，丨MN丨_min=$\frac{\sqrt{11}}{2}$；
（3）由题意可知：PQ的方程y=k（x-1），$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，整理得：x²-kx+k-1=0，
则x=1，y=k-1，则Q（k-1，k²-2k），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+k²）x²-2k²x+k²-1=0，
解得：x=1或x=$\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+1}$，
则P点坐标为（$\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+1}$，-$\frac{2k}{{k}^{2}+1}$），
由∠QBA=∠PBA，
则k_BP=-k_BQ，即$\frac{-\frac{2k}{{k}^{2}+1}}{\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+1}+1}$=-$\frac{{k}^{2}-2k}{k}$，
即k²-2k-1=0，解得：k=1±$\sqrt{2}$（负值舍去），
因此存在实根k=1+$\sqrt{2}$，使得∠QBA=∠PBA．

点评 本题考查抛物线的性质，直线与抛物线及圆的位置关系，考查考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．