Question

（本题满分14分）如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D为AC的中点。

（1）若AA₁=2，求证：；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值.

Answer 1

（1）见解析；（2）.

本试题主要是考查了线面垂直的证明，以及二面角的求解的综合运用
（1）因为AA₁= BC=2., 又AA₁面ABC，关键是求证AC面B C₁，从而得到线面垂直的证明。_,
（2）利用三垂线定理，先作出二面角，然后借助于三角形的边角的关系得到结论。
（1）AA₁= BC=2., 又AA₁面ABC，,CC₁ABC,, CC₁ AC ,而BCAC，CC₁BC=CAC面B C_1,.. --------（7分）
（2）过点C作于点E,连接,CC₁面ABC,, CC₁BD, 又，CC₁EC=C,,.故为二面角C₁—BD—C的平面角。BC=2，CC₁=3,,.在直角三角形中，CC₁=3,. .-------------（14分）