题目内容

已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
）满足：最大值为2，相邻两个最低点之间距离为π，将函数f（x）的图象向右平移
π
6
个单位长度，所得图象关于点（
π
4
，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α∈[0，
π
2
]且f（
α
2
-
π
12
）=
8
5
，求sin（2α+
π
12
）的值；
（Ⅲ）设向量
a
=（f（x-
π
6
），1），
b
=（1，mcosx），x∈（0，
π
2
），若
a
•
b
+3≥0恒成立，求实数m的取值范围．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的化简求值,两角和与差的正弦函数
专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（Ⅰ）由题意求得A，T，进一步求得ω，由函数图象的平移得到f（x）的解析式，结合图象关于点(
π
4
，0)对称求得φ，则函数解析式可求；
（Ⅱ）把f（
α
2
-
π
12
）=
8
5
代入函数解析式求得cos(α+
π
6
)=
4
5
，由平方关系求得sin(α+
π
6
)=
3
5
．展开倍角公式得sin（2α+
π
12
）的值；
（Ⅲ）求出向量的数量积，换元后利用“三个二次”的结合列式求得实数m的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）由题意可得，A=2，T=π，
∴f（x）=2cos（2x+φ），
将f（x）的图象向右平移
π
6
个单位长度，可得：
函数f(x)=2cos[2(x-
π
6
)+φ]=2cos(2x+φ-
π
3
)，此时图象关于点(
π
4
，0)对称．
则2×
π
4
+φ-
π
3
=kπ+
π
2
，
∴φ=kπ+
π
3
，k∈Z，
∵|ϕ|≤
π
2
，
∴φ=
π
3
，
∴f(x)=2cos(2x+
π
3
)；
（Ⅱ）∵f(
α
2
-
π
12
)=
8
5
(α∈[0，
π
2
])，
∴cos(α+
π
6
)=
4
5
，
又0＜α＜
π
2
，
∴
π
6
＜α+
π
6
＜
π
2
+
π
6
=
2π
3
，
∵sin(α+
π
6
)＞0，
∴sin(α+
π
6
)=
3
5
．
∴sin(2α+
π
3
)=2sin(α+
π
6
)cos(α+
π
6
)=2•
3
5
•
4
5
=
24
25
．
又∵cos(2α+
π
3
)=2cos2(α+
π
6
)-1=
7
25
．
∴sin(2a+
π
12
)=sin(2a+
π
3
-
π
4
)=sin(2a+
π
3
)cos
π
4
-cos(2a+
π
3
)sin
π
4

=
24
25
•
2
2
-
7
25
•
2
2
=
17
50
2
；
（Ⅲ）∵
a
=（f（x-
π
6
），1），
b
=（1，mcosx），x∈（0，
π
2
），
∴
a
•
b
+3=f(x-
π
6
)+mcosx+3=2cos2x+mcosx+3=4cos2x+mcosx+1．
令t=cosx，则0＜t＜1，原不等式可化为4t2+mt+1≥0对一切0＜t＜1恒成立，
设函数f（t）=4t2+mt+1，0＜t＜1，其图象开口向上，
∵f（1）=4+m+1=5+m≥0时，对称轴t=-
m
8
≤
5
8
＜1，
∴只需满足△=m2-16≤0或
△＞0
-
m
8
＜0
f(1)＞0
，解得：-4≤m≤4或m＞4，
综上，m的取值范围是m≥-4．
点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了已知三角函数的值求另外三角函数的值，考查了数学转化思想方法，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1
2
，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于D，则tan∠BDC的值等于（　　）
A、3
3
B、-3
3
C、
3
5
D、
-
3
5
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O，A点处取到极值，其中O是坐标原点，A在曲线y=x2sinx+xcosx，x∈[
π
3
，
2π
3
]上，则曲线y=f（x）的切线的斜率的最大值是（　　）
A、
3π
4
B、
3
2
C、
3
3
π
4
+
3
4
D、
3
3
π
4
-
3
4
若函数f（x）=lnx+ax+
x2
2
为其定义域上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A、（0，+∞）
B、[0，+∞）
C、（-1，0）
D、[-2，+∞）
已知数列{an}满足a1=0，a2=-20，且对任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2（m-n）2
（Ⅰ）求a3，a5；
（Ⅱ）设bn=a2n+1-a2n-1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；
（Ⅲ）记数列{bn}的前n项和为Sn，求正整数k，使得对任意n∈N*均有sk≤sn．
已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得对f（x），f（a+x），f（a-x）有定义的所有x都有f（a+x）+f（a-x）=b恒成立，则称f（x）为“п-函数”．
（Ⅰ）判断函数f1（x）=2sinx，f2（x）=lnx是否是“п-函数”；
（Ⅱ）若f3（x）=tanx是一个“п-函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）（参考公式tan（α+β）=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
，tan（α-β）=
tanα-tanβ
1+tanαtanβ
）；
（Ⅲ）若定义域为R的函数f（x）是“п-函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，2）．当x∈（0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[-2012，2012]时函数f（x）的值域．
如图，A，B是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线l是椭圆的右准线．
（1）若椭圆C的离心率为
1
2
，直线l：x=4，求椭圆C的方程；
（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于Q，若直线PQ恰好过原点，求椭圆C的离心率．
已知a，b，m∈R+，并且a＜b，用分析法证明：
a+m
b+m
＞
a
b
．
已知函数f（x）=x2-ax+xlnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥-6恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在函数f（x）的定义域内任取三个实数x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3，证明：
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＜
f(x3)-f(x2)
x3-x2
．

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