已知函数f(x).如果存在给定的实数对.f有定义的所有x都有f=b恒成立.则称f(x)为“п-函数．(Ⅰ)判断函数f1(x)=2sinx.f2(x)=lnx是否是“п-函数 ,(Ⅱ)若f3(x)=tanx是一个“п-函数 .求出所有满足条件的有序实数对(a.b)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.tan=tanα-tanβ1+tanαtanβ),(Ⅲ)若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得对f（x），f（a+x），f（a-x）有定义的所有x都有f（a+x）+f（a-x）=b恒成立，则称f（x）为“п-函数”．
（Ⅰ）判断函数f₁（x）=2sinx，f₂（x）=lnx是否是“п-函数”；
（Ⅱ）若f₃（x）=tanx是一个“п-函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）（参考公式tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

，tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

）；
（Ⅲ）若定义域为R的函数f（x）是“п-函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，2）．当x∈（0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[-2012，2012]时函数f（x）的值域．

考点：函数恒成立问题,函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）假设是函数为“п-函数”，列出方程对任意的x恒成立，通过判断方程的解的个数判断出f₂（x）=lnx不是，对于f₁（x）=2sinx列出方程恒成立．
（2）据题中的定义，列出方程恒成立，通过两角和差的正切公式展开整理，令含未知数的系数和常数项的系数对应相等，求出a，b．
（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立；将x用1+x代替，两等式结合得到函数值的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域．

解答： 解：：（1）若f₁（x）=）=2sinx，是“π-函数”，则存在常数（2kπ，0），使得sin（2kπ+x）+sin（2kπ-x）=sinx+sin（-x）=0，对任意的x恒成立，f₂（x）=lnx不是“π-函数”，由于ln（a+x）+ln（a-x）=b解得 x²=a²-e^b对任意的x恒成立，而x²=a²-e^b至多有两解最多有两个解相矛盾，因此f₁（x）=）=2sinx，是“π-函数”，f₂（x）=lnx不是“π-函数”．
（2）若f₃（x）=tanx是一个“п-函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）使tan（a+x）+tan（a-x）=b恒成立．即

tana+tanx

1-tanatanx

tana-tanx

1+tanatanx

=b
整理得：2tana+2tan²xtana=b（1-tan²atan²x）
利用系数对应相等得到：

2tana=b

2tana=btan2a

解得：b=±2 tana=±1 则a=kπ±

（k∈z）
则满足条件的有序实数对为：（kπ+

，2）（kπ+

，-2）（kπ-

，2）（kπ-

，-2）（k∈z）
（3）函数f（x）是“п-函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，2）．于是f（x）+f（-x）=1，f（1+x）+f（1-x）=2，
即f（1+x）+f（1-x）=2?f（x）+f（2-x）=2，x∈[0，1]时，2-x∈[1，2]，
x∈∈[2，4]时，f（x）∈[4，16]，x∈[4，6]时，f（x）∈[16，26]，
依此类推可知 x∈[2k，2k+2]时，f（x）∈[22k，22k+2]，
x∈[2010，2012]时，f（x）∈[22010，22012]．
因此x∈[0，2012]时，f（x）∈[1，2²⁰¹²]
综上可知当x∈[-2012，2012]时函数f（x）的值域为[2^-2012，2²⁰¹²]

点评：本题（1）列出方程对任意的x恒成立，通过判断方程的解的个数判断出f₂（x）=lnx不是，对于f₁（x）=2sinx列出方程恒成立．
（2）据题中的定义，列出方程恒成立，通过两角和差的正切公式展开整理，令含未知数的系数和常数项的系数对应相等，求出a，b．
（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立；将x用2+x代替，两等式结合得到函数值的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域．