Question

7．已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表．f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．下列四个命题：

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④函数y=f（x）-$\sqrt{2}$有4个零点．
其中真命题的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．

解答 解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：
由图得：∵函数的定义域为闭区间，而周期函数的定义域一定是无界的，故①为假命题；
②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；
由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，
若x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误
函数y=f（x）-$\sqrt{2}$的零点个数，即y=f（x）和直线y=$\sqrt{2}$的交点的个数，结合图象④正确
故选：B．

点评 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．