Question

15．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处切线的斜率k=-$\frac{1}{2}$，求实数a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若xf′（x）≥x²+x+1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（1）=-$\frac{1}{2}$，求出a的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间；
（Ⅲ）分离参数得到a≥$\frac{{x}^{2}+x}{{2x}^{2}+1}$，令g（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{{2x}^{2}+1}$，求出其最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+a+1}{x}$，f′（1）=$\frac{3a+1}{1}$=-$\frac{1}{2}$，
解得：a=-$\frac{1}{2}$．-----------（3分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+a+1}{x}$，
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；---------（5分）
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；-----（6分）
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$，
当x∈（0，$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$）时，f′（x）＞0；单调增，
x∈（$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$，+∞）时，f′（x）＜0，单调减-----------（10分）
（Ⅲ）xf′（x）≥x²+x+1，得：a≥$\frac{{x}^{2}+x}{{2x}^{2}+1}$-------（11分）
令g（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{{2x}^{2}+1}$，则g′（x）=$\frac{-{2x}^{2}+2x+1}{{（{2x}^{2}+1）}^{2}}$，
当0＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$时，g（x）单调递增，当x＞$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$时，g（x）单调递减，
所以，g（x）_max=g$（\frac{1+\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$，----------------（13分）
故a≥$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$-----------------（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．