Question

18．已知函数f（x）=（x-a）e^x（x∈R），函数g（x）=bx-lnx，其中a∈R，b＜0．
（1）若函数g（x）在点（1，g（l））处的切线与直线x+2y-3=0垂直，求b的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值；
（3）若存在区间M，使得函数f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，根据g′（1）=b-1，求出b的值即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出对应的函数的最小值即可；（3）分布根据函数的单调性求出a的范围．

解答 解：（1）∵g（x）=bx-lnx，定义域是（0，+∞），
∴g′（x）=b-$\frac{1}{x}$，∴g′（1）=b-1，
∵g（x）在点（1，g（l））处的切线与直线x+2y-3=0垂直，
∴g′（1）×（-$\frac{1}{2}$）=-1，即（b-1）×（-$\frac{1}{2}$）=-1，解得：b=3；
（2）∵f（x）=（x-a）e^x，∴f′（x）=（x-a+1）e^x，
分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，
得f（x）在（-∞，a-1）递减，在（a-1，+∞）递增，
a-1≤0，即a≤1时，f（x）在（0，1]递增，
∴f（x）_min=f（0）=-a，
0＜a-1＜1，即1＜a＜2时，f（x）在[0，a-1]递减，在[a-1，1]递增，
∴f（x）_min=f（a-1）=-e^a-1，
a-1≥1，即a≥2时，f（x）在[0，1]递减
∴f（x）_min=f（1）=（1-a）e，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-a，a≤1}\\{{-e}^{a-1}，1＜a＜2}\\{（1-a）e，a≥2}\end{array}\right.$；
（3）g′（x）=b-$\frac{1}{x}$，（b＜0，x＞0），
∴g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）递减，
由（2）得，f（x）在（-∞，a-1）递减，在（a-1，+∞）递增，
∴a-1＞0，即a＞1时，f（x）和g（x）具有相同的递减区间．
即函数f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性时，a∈（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道综合题．