Question

17．已知向量$\overrightarrow a=（sinx，1），\overrightarrow b=（\sqrt{3}，cosx）$，函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）写出函数f（x）的单调递减区间；
（2）设$g（x）=f（x-\frac{π}{6}）+1$，求函数g（x）的最大值及对称轴．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标结合数量积的坐标运算可得f（x），再由辅助角公式化积，结合复合函数的单调性求得f（x）的单调递减区间；
（2）由$g（x）=f（x-\frac{π}{6}）+1$得到g（x）的解析式，直接求得函数的最大值及对称轴方程．

解答 解：（1）由$\overrightarrow a=（sinx，1），\overrightarrow b=（\sqrt{3}，cosx）$，
得f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}sinx+cosx$=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）=2sin（x+\frac{π}{6}）$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{4π}{3}+2kπ$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递减区间为[$\frac{π}{3}+2kπ，\frac{4π}{3}+2kπ$]，k∈Z；
（2）$g（x）=f（x-\frac{π}{6}）+1$=2sinx+1．
∴g（x）_max=3．
其对称轴方程为x=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．