题目内容
【题目】在平面直角坐标系
，
．以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
，点
为上的动点，
为
的中点．
（1）请求出点轨迹
的直角坐标方程；
（2）设点
的极坐标为
若直线
经过点且与曲线交于点
，弦
的中点为
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
【解析】
(1)将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程为
，可得点
满足
．利用相关点法即可得出
点轨迹
的直角坐标方程；
(2)根据已知条件求出直线
的参数方程，把直线的参数方程代入，利用根与系数关系求出
，由直线的参数方程中
的几何意义可将
用
表示，再将代入即可求出的取值范围．
(1)因为的直角坐标方程为，
所以点满足．
设
，因为为
的中点，
所以
，
，所以
，
，
所以
，
整理得的轨迹方程为．
(2)因为直线过点
，
所以直线的参数方程为
(
为参数，为倾斜角，
)
代入得
，所以
，
，
所以
．
【题目】某市环保部门为了让全市居民认识到冬天烧煤取暖对空气
数值的影响，进而唤醒全市人民的环保节能意识。对该市取暖季烧煤天数
与空气数值不合格的天数
进行统计分析，得出下表数据：
| 9 | 8 | 7 | 5 | 4 |
| 7 | 6 | 5 | 3 | 2 |
（1）以统计数据为依据，求出关于的线性回归方程
；
（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测该市烧煤取暖的天数为20时空气数值不合格的天数．
参考公式：
，
．
【题目】大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程.
（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
优等生 | 非优等生 | 总计 | |
学习大学先修课程 | 250 | ||
没有学习大学先修课程 | |||
总计 | 150 |
（Ⅱ）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学生先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0．05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
参考公式：
，其中
