Question

9．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为$\sqrt{2}$的正方形，AA₁=3，点F在棱B₁B上运动．
（1）若三棱锥B₁-A₁D₁F的体积为$\frac{2}{3}$时，求异面直线AD与D₁F所成的角
（2）求异面直线AC与D₁F所成的角．

Answer 1

分析 （1）求出BF=1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD与D₁F所成的角．
（2）求出$\overrightarrow{AC}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，-2$），利用向量法能求出异面直线AC与D₁F所成的角的大小．

解答 解：（1）∵在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为$\sqrt{2}$的正方形，
∴${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，
∵AA₁=3，点F在棱B₁B上运动，三棱锥B₁-A₁D₁F的体积为$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$×B₁F=$\frac{{B}_{1}F}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴BF=3-2=1，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，
DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由A（$\sqrt{2}，0，0$），D（0，0，0），
D₁（0，0，3），F（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，1$），
$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{2}，0，0$），
$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，-2$），
设异面直线AD与D₁F所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{{D}_{1}F}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{{D}_{1}F}|}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°．
∴异面直线AD与D₁F所成的角为60°．
（2）C（0，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，-2$），
∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{{D}_{1}F}$=-2+2+0=0，
∴异面直线AC与D₁F所成的角为90°．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．