Question

已知关于x的方程x²+（2m-1）x+m-6=0有一个根不大于-1，另一个根不小于1．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求方程两根平方和的最值．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意，只要解

f(-1)≤0 f(1)≤0

即可；
（2）利用根与系数的关系得到设关于x的方程x²+（2m-1）x+m-6=0的两根为x₁，x₂，
则

x1+x2=-(2m-1) x1•x2=m-6

，结合平方关系得到方程两根平方和关于m的解析式，平方求最值．

解答： 解：（1）设f（x）=x²+（2m-1）x+m-6，则由关于x的方程x²+（2m-1）x+m-6=0有一个根不大于-1，另一个根不小于1．得

f(-1)≤0 f(1)≤0

，
解得：-4≤m≤2；
（2）设关于x的方程x²+（2m-1）x+m-6=0的两根为x₁，x₂，
则

x1+x2=-(2m-1) x1•x2=m-6

∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4m²-6m+13=4（m-

3

4

）²+

43

4

，
所以，当m=

3

4

时．（x 12+x22）_min=

43

4

；
当m=-4时．（x12+x22）_max=101．

点评：本题考查了一元二次方程根的分布以及根与系数的关系的考查，属于经常考查的题目．