Question

在△ABC中，已知P为线段AB上的一点，

BP

=3

PA

．
（1）若

OP

=x

OA

+y

OB

，求x，y的值；
（2）已知|

OA

|=4，|

OB

|=2，且

OP

•

AB

=-9，求

OA

与

OB

的夹角．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出

OP

，结合已知条件以及平面向量基本定理求出x，y的值．
（2）由条件利用向量数量积的定义求得cosθ的值，可得

OA

与

OB

的夹角θ的值．

解答： 解：（1）∵

BP

=3

PA

，由题意可得

OP

=

OB

+

BP

=

OB

+

3

4

BA

=

OB

+

3

4

（

OA

-

OB

）=

3

4

OA

+

1

4

OB

，
再根据

OP

=x

OA

+y

OB

，∴x=

3

4

，y=

1

4

．
（2）∵已知|

OA

|=4，|

OB

|=2，且

OP

•

AB

=-9=4×2×cosθ （θ为

OA

与

OB

的夹角），∴cosθ=

1

2

，
 可得θ=60°，即求

OA

与

OB

的夹角为60°．

点评：本题考查向量的加法、减法的运算法则，两个向量的数量积的定义及其运算律，根据三角函数的值求角，属于基础题．