Question

4．函数F（x）=e^x-1，G（x）=ax²+bx，其中a，b∈R，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）若a=0时，y=G（x）为曲线y=F（x）的切线，求b的值；
（Ⅱ）若f（x）=F（x）-G（x），f（1）=0．证明：当e-2＜a＜1时，函数f（x）在区间（0，1）内有零点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设切点为（m，n），即有n=bm=e^m-1，求得F（x）的导数，运用导数的几何意义，可得m，b的方程，构造函数g（b）=blnb-b+1，求得导数，单调区间可得极值，进而得到b=1；
（Ⅱ）求得f（x）的解析式和导数，设g（x）=f′（x），设x₀为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，运用单调性，讨论a的范围，结合零点存在定理，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）a=0时，y=G（x）=bx，
F（x）=e^x-1的导数为F′（x）=e^x，
设切点为（m，n），即有n=bm=e^m-1，
且e^m=b，消去m，可得blnb=b-1，
设g（b）=blnb-b+1，g′（b）=lnb，
当b＞1时，g′（b）＞0，g（b）递增；
当0＜b＜1时，g′（b）＜0，g（b）递减．
可得b=1处g（b）取得极小值，且为最小值0．
则blnb=b-1的解为b=1；
（Ⅱ）证明：f（x）=F（x）-G（x）=e^x-1-ax²-bx，
可得f′（x）=e^x-2ax-b，可设g（x）=f′（x），
设x₀为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，
由f（0）=f（x₀）=0可知，
f（x）在区间（0，x₀）上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g（x）不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g（x）在区间（0，x₀）内存在零点x₁．
同理g（x）在区间（x₀，1）内存在零点x₂．
故g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点，
由（1）知，当a≤$\frac{1}{2}$时，g（x）在[0，1]递增，
故g（x）在（0，1）内至多有1个零点，
当a≥$\frac{e}{2}$时，g（x）在[0，1]递减，
故g（x）在（0，1）内至多有1个零点，都不合题意，
所以$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$，
此时，g（x）在区间[0，ln（2a）]递减，在区间（ln（2a），1）递增，
因此x₁∈（0，ln（2a）），x₂∈（ln（2a），1），必有：g（0）=1-b＞0，g（1）=e-2a-b＞0，
由f（1）=0，得a+b=e-1＜2，有g（0）=a-e+2＞0，g（1）=1-a＞0，解得：e-2＜a＜1，
所以当e-2＜a＜1时，函数f（x）在区间（0，1）内有零点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数的单调性，函数的最值问题，以及分类讨论思想，是一道综合题．