Question

12．已知四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为$\frac{π}{3}$，则EF=1或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO=FO=1，$∠EOF=\frac{π}{3}$，或$∠EOF=\frac{2π}{3}$，由此能求出EF．

解答 解取BD中点O，连结EO、FO，
∵四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为$\frac{π}{3}$，
∴EO∥CD，且EO=$\frac{1}{2}CD=1$，FO∥AB，且FO=$\frac{1}{2}AB$=1，
∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角，
∴$∠EOF=\frac{π}{3}$，或$∠EOF=\frac{2π}{3}$，
当∠EOF=$\frac{π}{3}$时，△EOF是等边三角形，∴EF=1．
当$∠EOF=\frac{2π}{3}$时，EF=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}-\frac{1}{2}×1×1×cos\frac{2π}{3}}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：1或$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线段长的示法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．