题目内容
有一条由西向东的河流，甲城位于河西头的南岸边，乙城位于河东头离南岸6km处，乙城到河南岸的垂足与甲城相距30km，两城要在此河南岸设一水厂取水，从水厂到甲、乙两城分别按直线埋放水管，其费用分别为每千米2000元和2500元，问此水厂应设在何处，才能使埋放水管的费用最省？并求出最省的水管费用．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：应用题,导数的综合应用
分析：设水厂与乙城到河岸的垂直距离为xkm，则与甲城距离为（30-x）km，与乙城距离为
km，埋放水管的总费用为y=2000（30-x）+2500
（0≤x≤30），利用导数可得函数极值点，由实际意义可知即为最值点．
| 36+x2 |
| 36+x2 |
解答：
解：设水厂与乙城到河岸的垂直距离为xkm，则与甲城距离为（30-x）km，与乙城距离为
km，
埋放水管的总费用为y=2000（30-x）+2500
（0≤x≤30），
∴y′=-2000+
，
令y′=0，解得x=±8（负值舍去），
当x=8时，y=69000（元），
又当x=0时，y=75000，当x=30时，y=15000
＞75000，
在x∈[0，30]中仅有一个极值点，且69000＜75000．
故当水厂与甲城距离为22km时，费用最省为69000元．
| 36+x2 |
埋放水管的总费用为y=2000（30-x）+2500
| 36+x2 |
∴y′=-2000+
| 2500 | ||
|
令y′=0，解得x=±8（负值舍去），
当x=8时，y=69000（元），
又当x=0时，y=75000，当x=30时，y=15000
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在x∈[0，30]中仅有一个极值点，且69000＜75000．
故当水厂与甲城距离为22km时，费用最省为69000元．
点评：该题考查导数在实际问题中的应用、利用导数求函数的最值，考查学生的应用意识．
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