Question

设数列，，若以为系数的二次方程:都有根满足.
（1）求证：为等比数列
（2）求.
（3）求的前项和.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）；（3）.

试题分析：本题考查等差数列等比数列的通项公式、前n项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力和推理论证能力.第一问，利用根与系数关系，得到两根之和、两根之积，代入到中，得到和的关系式，再用配凑法，凑出一个新的等比数列；第二问，利用第一问的结论，先求出新数列的通项公式，再求；第三问，用分组求和的方法，分别是等比数列和等差数列，直接用前n项和公式求和即可.
试题解析：（1）∵都有根满足，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴，而，
∴是以为首项，以为公比的等比数列.
（2）∵，∴.
（3）



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