Question

3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为F，过F作斜率为2的直线l，直线l与双曲线的右支有且只有一个公共点，则双曲线的离心率范围$（1，\sqrt{5}]$．

Answer 1

分析 由过F作斜率为2的直线l，直线l与双曲线的右支有且只有一个公共点，可得$\frac{b}{a}＞$2，利用e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，又e＞1．即可得出．

解答 解：∵过F作斜率为2的直线l，直线l与双曲线的右支有且只有一个公共点，
∴$\frac{b}{a}＞$2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$＜$\sqrt{5}$，又e＞1．
∴e∈$（1，\sqrt{5}]$．
故答案为：$（1，\sqrt{5}]$．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．